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    如图，直线y＝x与抛物线y＝x2－4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y＝－5交于Q点．

    (1)求点Q的坐标；

    (2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值．

    答案：
    解析：

    　　解：(1)解方程组得

    　　即A(－4，－2)，B(8，4)，从而AB的中点为M(2，1)．

    　　由kAB＝，直线AB的垂直平分线方程y－1＝(x－2)．

    　　令y＝－5，得x＝5，∴Q(5，－5)

    　　(2)直线OQ的方程为x＋y＝0，设P(x，x2－4)．

    　　∵点P到直线OQ的距离d＝＝|x2＋8x－32|，

    　　|OQ|＝5，∴S△OPQ＝|OQ|d＝|x2＋8x－32|．

    　　∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，

    　　∴－4≤x＜4－4或4－4＜x≤8．

    　　∵函数y＝x2＋8x－32在区间[－4，8]上单调递增，

    　　∴当x＝8时，△OPQ的面积取到最大值30．


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    (3)如图：直线y＝x与两个“相似椭圆”

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