Question

13．设函数f（x）=$\frac{2x-3}{2x+1}$+a在[0，$\frac{3}{2}$]的值域为集合A，函数g（x）=$\sqrt{x+2}$+$\sqrt{2-x}$的定义域为集合B．
（1）若a=0，求∁_R（A∩B）；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 f（x）解析式变形后，确定出f（x）的最大值与最小值，进而确定出A，求出g（x）的定义域确定出B，
（1）把a=0代入确定出A，求出A与B的交集，根据全集R求出交集的补集即可；
（2）根据A与B的交集为A，得到A为B的子集，确定出a的范围即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{2x-3}{2x+1}$+a=1+a-$\frac{4}{2x+1}$在区间[0，$\frac{3}{2}$]上单调递增，
∴f（x）_max=f（$\frac{3}{2}$）=a，f（x）_min=f（0）=a-3，
∴A=[a-3，a]，
由$\left\{\begin{array}{l}x+2≥0\\ 2-x≥0\end{array}\right.$，解得：-2≤x≤2，
∴B=[-2，2]，
（1）当a=0时，A=[-3，0]，则有A∩B=[-2，0]，
∴∁_R（A∩B）=（-∞，-2）∪（0，+∞）；
（2）若A∩B=A，则有A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3≥-2}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
解得：1≤a≤2，
则实数a的取值范围是[1，2]．

点评 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．