Question

1．已知函数f（x）=xlnx-ax，g（x）=-ax²+2x-2，（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间及最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1-a，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间及最小值．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），问题等价于h_min≥0，x∈[1，+∞），求出h′（x）=2ax+lnx-a-1，令m（x）=2ax+lnx-a-1，则${m}^{'}（x）=2a+\frac{1}{x}$，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx-ax，∴函数f（x）定义域为（0，+∞），…（1分）
f′（x）=lnx+1-a，令f′（x）＞0，即lnx+1-a＞0，得x＞e^a-1，
令f′（x）＜0，即lnx+1-a＜0，得0＜x＜e^a-1，
∴f（x）的增区间为（e^a-1，+∞），减区间为（0，e^a-1），
∴f_min（x）=f（e^a-1）=e^a-1lne^a-1-a•e^a-1=-e^a-1．…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）恒成立，令h（x）=f（x）-g（x），
∴问题等价于h_min≥0，x∈[1，+∞），…（5分）
∵h（x）=xlnx+ax²-ax-2x+2，
∴h′（x）=2ax+lnx-a-1，
令m（x）=2ax+lnx-a-1，则${m}^{'}（x）=2a+\frac{1}{x}$，
∵x≥1，a＞0，∴${m}^{'}（x）=2a+\frac{1}{x}$＞0，
∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，m（x）≥m（1）=a-1，…（8分）
若m（1）=a-1≥0，即a≥1时，h′（x）=m（x）≥m（1）=a-1≥0恒成立，
此时h（x）=xlnx+ax²-ax-2x+2在x∈[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0，
∴a≥1满足题意…（11分）
下面证明当0＜a＜1不合题意，
当0＜a＜1时，∵h′（x）=2ax+lnx-a-1，h′（1）=a-1＜0，h′（e）=2ae-a＞0，
由上面可知h′（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h′（x）=2ax+lnx-a-1=0在（1，e）上有唯一解，设为x₀，
∴当x∈[1，x₀）时，h′（x）＜0，此时h（x₀）＜h（1）=0不合题意．
综上a≥1．
∴a的取值范围[1，+∞）．

点评 本题考查函数的单调区间和最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等价转化思想和导数性质的合理运用．