Question

16．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右准线与两渐近线交于A，B两点，它右焦点为F，若△ABF为等边三角形，则双曲线C的离心率为2．

Answer 1

分析 求得双曲线的右准线方程和渐近线方程，可得A，B的坐标和距离，求得F到准线的距离，再由等边三角形的高与边长的关系，结合双曲线的a，b，c，e的关系，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右准线方程为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
两渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，可得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
则等边三角形ABF的边长为|AB|=$\frac{2ab}{c}$，
F（c，0）到右准线的距离为c-$\frac{{a}^{2}}{c}$，
可得c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2ab}{c}$，
即b²=c²-a²=$\sqrt{3}$ab，
即为b=$\sqrt{3}$a，
即b²=c²-a²=3a²，
则c=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的准线方程和渐近线方程，同时考查等边三角形的性质，运算能力，属于中档题．