Question

6．函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（1）求方程f（x）=0的解．
（2）若函数f（x）的最小值为-1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，再根据对数的运算性质化简计算即可，
（2）根据复合函数的单调性得到f（x）_min=log_a4，即可求出a的值．

解答 解：（1）要使函数有意义：则有$\left\{\begin{array}{l}1-x＞0\\ x+3＞0\end{array}\right.$，解之得：-3＜x＜1
函数可化为$f（x）={log_a}（1-x）（x+3）={log_a}（-{x^2}-2x+3）$
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1
即x²+2x-2=0，∵$-1±\sqrt{3}∈（-3，1）$∴f（x）=0的解为$x=-1±\sqrt{3}$，
（2）函数化为：$f（x）={log_a}（1-x）（x+3）={log_a}（-{x^2}-2x+3）={log_a}[{-{{（x+1）}^2}+4}]$，
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4，
∵0＜a＜1，
∴${log_a}[{-{{（x+1）}^2}+4}]≥{log_a}4$
即f（x）_min=log_a4
由log_a4=-1，得a^-1=4，
∴$a=\frac{1}{4}$

点评 本题考查了对数函数的性质和对数函数的运算性质，属于中档题．