Question

11．已知抛物线E：y²=4x焦点为F，准线为l，P为l上任意点．过P作E的两条切线，切点分别为Q，R．
（1）若P在x轴上，求|QR|；
（2）求证：以PQ为直径的圆恒过定点．

Answer 1

分析 （1）由P（-1，0），设直线PQ方程，代入抛物线方程，由△=0，求得直线的斜率，代入方程求得切点分别为Q，R坐标，即可求得求|QR|；
（2）由对称性可知：该点必在x轴上，设M（m，0），设Q（$\frac{1}{4}$${y}_{0}^{2}$，y₀），P（-1，t），则切线为yy₀=2x+$\frac{1}{2}$${y}_{0}^{2}$，求得t=$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$，根据$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，即可求得m的值．

解答 解：（1）由已知可知：抛物线y²=4x焦点为F（1，0），
∴P（-1，0），
设PQ：y=k（x+1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，整理得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，①
由△=0，即（2k²-4）²-4•k²•k²=0，
解得：k=±1，
代入①求得x=1，y=±2，
∴切点分别为Q和R坐标为（1，±2），
∴|QR|=4；
（2）证明：由对称性可知：该点必在x轴上，设M（m，0），
设Q（$\frac{1}{4}$${y}_{0}^{2}$，y₀），P（-1，t），则切线为yy₀=2x+$\frac{1}{2}$${y}_{0}^{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$，
由题意可知：$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，即（m-$\frac{1}{4}$${y}_{0}^{2}$）（m+1）+y₀•（$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$）=0，
整理得：（m²+m-2）+$\frac{1}{4}$${y}_{0}^{2}$（1-m）=0
∴m=1，
∴恒过点M（1，0）．

点评 本题考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．