Question

1．函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-2=0（mn＞0）上，则$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），可得m+n=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），
点A在直线mx+ny-2=0（mn＞0）上，∴m+n=2．
则$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}（m+n）$$（\frac{3}{m}+\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{2}（4+\frac{3n}{m}+\frac{m}{n}）$$≥\frac{1}{2}$$（4+2\sqrt{\frac{3n}{m}•\frac{m}{n}}）$=2+$\sqrt{3}$，当且仅当m=$\sqrt{3}n$=$3-\sqrt{3}$时取等号．
故答案为：2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、“乘1法”、指数函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．