Question

16．如图A、B是单位圆O上的动点，C是圆与x轴正半轴的交点，设∠AOC=α．
（1）当点A的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）时，求sinα的值；
（2）若0≤α≤$\frac{π}{2}$，且当点A、B在圆上沿逆时针方向移动时总有∠AOB=$\frac{π}{2}$，试求|BC|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
（2）由题意可得∠COB=α+$\frac{π}{3}$，由余弦定理求得 CB² 的解析式，利用余弦函数的定义域和值域求得BC²的范围，可得BC的范围．

解答 解：（1）∵A点的坐标为$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，根据三角函数定义可知$x=\frac{3}{5}$，$y=\frac{4}{5}$，r=1，∴$sinα=\frac{y}{r}=\frac{4}{5}$．
（2）∵$∠AOB=\frac{π}{3}$，∠COA=α，∴∠COB=α+$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得 CB²=OC²+OB²-2OC•OB•cos∠COB=1+1-2cos（α+$\frac{π}{3}$）=2-2cos（α+$\frac{π}{3}$）．
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），∴cos（α+$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴BC²∈[1，2+$\sqrt{3}$]、∴BC∈[1，$\sqrt{2+\sqrt{3}}$]，即 BC∈[1，$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$]．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，余弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．