Question

9．已知函数f（x）=$\frac{x+2}{x}$．
（Ⅰ）写出函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）证明函数f（x）在（0，+∞）为单调递减函数；
（Ⅲ）试判断函数g（x）=（x-2）f（x）的奇偶性，并证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）容易得出定义域{x|x≠0}，而分离常数得出$f（x）=1+\frac{2}{x}$，从而可得出f（x）的值域；
（Ⅱ）根据减函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，证明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（Ⅲ）先求出g（x），然后容易得出g（x）定义域关于原点对称，并可得出g（-x）=-g（x），从而得出g（x）为奇函数．

解答 解：（Ⅰ）定义域{x|x≠0}；
又$f（x）=1+\frac{2}{x}$；
∴值域为{f（x）|f（x）≠1}；
（Ⅱ）证明：设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{x}_{1}}-\frac{2}{{x}_{2}}=\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数；
（Ⅲ）$g（x）=（x-2）f（x）=\frac{{x}^{2}-4}{x}$；
其定义域{x|x≠0}关于原点对称；
且$g（-x）=\frac{（-x）^{2}-4}{-x}=-\frac{{x}^{2}-4}{x}=-g（x）$；
∴函数g（x）为奇函数．

点评 考查函数定义域、值域的概念及求法，分离常数法的运用，减函数的定义，根据函数单调性定义证明函数单调性的方法和过程，奇函数的定义．