【题目】已知函数
.
(1)当时,求
的极值;
(2)当时,若函数
恰有两个不同的零点,求
的值;
(3)当时,若
的解集为
,且
中有且仅有一个整数,求实数
的取值范围.
【答案】(1)极大值,极小值
(2)
(3)
【解析】
(1)把代入函数解析式,求导,由导数的符号确定函数的单调区间,从而求得函数的极值;
(2)当时,
有唯一解,与题意不符,舍去;当
时,求出导函数的零点
或
,结合
,可得
,由此求得
的值;
(3)把的解集记为
,且
中有且仅有一个整数,可转化为
的解集中仅有一个整数,利用导数研究函数,最后求得结果.
(1)当时,
,
,
,
令,解得
或
,令
,解得
,
所以函数在
上单调增,在
上单调减,在
上单调增,
所以函数的极大值,极小值
;
(2)法一:,令
,得
或
因为函数有两个不同的零点,所以
或
当时,得
,不合题意,舍去;
当时,代入得
即,所以
法二:由于,所以
,
由,得
设,
,令
,得
,
当时,
,
递减;当
时,
,
递增.
当时,
,
单调递增,
当时,
的值域为
.
故不论取何值,方程
有且仅有一个根;
当时,
,
所以时,方程
恰有一个根-2,
此时函数恰有两个零点-2和1
(3)当时,因为
,所以
,
设,则
当时,因为
,所以
在
上递增,且
所以在上,
,不合题意;
当时,令
,得
所以在
递增,在
递减,
所以
要使有解,首先要满足
,解得
①
又因为,
要使的解集
中只有一个整数,则
即,解得
②
设,则
当时,
,
递增;当
时,
,
递减,
所以,所以
,
所以由①和②得:.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某理财公司有两种理财产品A和B,这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财产品的不同投资结果之间相互独立):
产品A
投资结果 | 获利40% | 不赔不赚 | 亏损20% |
概率 |
产品B
投资结果 | 获利20% | 不赔不赚 | 亏损10% |
概率 | p | q |
注:p>0,q>0
(1)已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求实数p的取值范围;
(2)若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资,以一年后投资收益的期望值为决策依据,则选用哪种产品投资较理想?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】己知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240,160,80.为助力疫情防控,现采用分层抽样的方法,从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师,参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动.
(Ⅰ)求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数;
(Ⅱ)设抽出的6名教师志愿者分别记为,
,
,
,
,
,现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”,求事件
发生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(1)若,求函数
的极小值;
(2)设函数,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量
使得
的值相等,若存在,请求出
的范围,若不存在,请说明理由?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“不小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A或事件B至少有一个发生的概率为( )
A.B.
C.
D.
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