Question

【题目】已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，⊥平面，，设为的中点．

（1）求证：⊥平面；

（2）点在线段上，且平面，求平面和平面所成锐角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由侧棱可知，该棱柱为直四棱柱，所以且交线为，又底面为菱形且，所以为等比三角形，由于为中点，所以，所以，所以，又根据侧面为矩形，且，，所以为等腰直角三角形，即，又因为，所以；（2）取中点，连接，由为等比三角形易知，则，以所在直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系，根据第（1）问可知，为平面的法向量，由于平面，所以，于是可以求出点的坐标，然后求出平面的法向量，将平面与平面所成角的余弦转化成两个法向量成角余弦值，即可求解.

试题解析：（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且△为等边三角形，⊥，

所以⊥平面，故⊥．

因为△的三边长分别为，，故△为等腰直角三角形，

所以⊥，结合⊥知：⊥平面．

（2）解：取中点，则由△为等边三角形知⊥，从而⊥．

以，，为坐标轴，建立如图所示的坐标系，此时，，，，，．设，

由上面的讨论知平面的法向量为，

由于平面，故平面，所以，故，

故，所以，故，

设平面的法向量为，，，

由知取，，，故．

设平面和平面所成锐角为，则，

即平面和平面所成锐角的余弦值为．