Question

【题目】在长方体中，，是棱上的一点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若是棱的中点，在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当点是棱的中点时，有平面．

【解析】

试题分析：（1）由平面，可得，在矩形中，可证得，根据线面垂直的判定定理即可证得平面；（2）由（1）可知，平面，根据线面垂直的性质可得；（3）假设点是棱的中点时，有平面，在上取中点，连接，，根据线面平行的性质定理可得四边形是平行四边形，所以．

试题解析：（1）证明：在长方体中，

因为平面，平面，所以．

在矩形中，

因为，

所以，

因为，

所以平面．

（2）证明：因为，所以平面，

由（1）可知，平面，

所以．

（3）解：当点是棱的中点时，有平面．

理由如下：

在上取中点，连接，，

因为是棱的中点，是的中点，

所以，且，

又，且，

所以，且，

所以四边形是平行四边形，所以．

又平面，平面，

所以平面，

此时．