【题目】已知椭圆:
的离心率为
,椭圆
和抛物线
交于
,
两点,且直线
恰好通过椭圆
的右焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)经过椭圆右焦点的直线
和椭圆
交于
,
两点,点
在椭圆上,且
,其中
为坐标原点,求直线
的斜率.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)根据椭圆及抛物线的对称性可知,轴,设
,
,
,依题意
为椭圆的通径,所以
,再由
,
,解得
,
,
,所以椭圆标准方程为
;(2)设点
,
,
,由已知
,则有
,解出
,
,代入椭圆方程
,又
两点在椭圆上,所以
,
,代入前面的式子得到
,然后设直线方程为
,将直线方程与椭圆方程联立,消去未知数
,得到关于
的一元二次方程,表示出
,
代入
中即得到关于
的方程,解方程就可求出
.
试题解析:(1)由知,可设
,
,
,其中
,
由已知,代入椭圆中得
,即
,解得
,
从而,
,
,故椭圆方程为
.
(2)设,
,
,由已知
,
从而,
,由于
,
,
均在椭圆
上,
故有,
,
,
第三个式子变形为,
将第一、二个式子代入得,(*)
分析知直线的斜率不为零,故可设直线
方程为
,与椭圆联立得:
,由韦达定理
,
,
将(*)变形为:,
即,
将韦达定理代入上式得:,解得
,
因为直线的斜率,故直线
的斜率为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60), ...,[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)求成绩落在[70,80)上的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(Ⅲ) 从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人,求他们在同一分数段的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数的最小正周期为
.
(1)求函数的单调增区间;
(2)将函数的图象向左平移
个单位,再向上平移1个单位,得到函数
的图象,若
在
上至少含有10个零点,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在长方体中,
,
是棱
上的一点.
(1)求证:平面
;
(2)求证:;
(3)若是棱
的中点,在棱
上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.
(1) 计算:① |a+b|,② |4a-2b|;
(2) 当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(A)设函数,
.
(1)证明:函数在
上为增函数;
(2)若方程有且只有两个不同的实数根,求实数
的值.
(B)已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)若存在唯一实数,使得
成立,求实数
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A. 若l⊥m,mα,则l⊥α
B. 若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C. 若l∥α,mα,则l∥m
D. 若l∥α,m∥α,则l∥m
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