Question

附加题：
已知函数f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a（a为实数），
（1）求不等式f′(x)＞

3

2

-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x₁，x₂∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x2)|＜

5

16

恒成立．

Answer 1

（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴3-2a+

3

2

=0，a=

9

4

，
∴f′(x)=3x2+

9

2

x+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)，由f′(x)＞0，x＜-1或x＞-

1

2

；
①由f′(x)＜0，-1＜x＜-

1

2

∴f（x）的单调递增区间是(-∞，-1)，(-

1

2

，+∞)；单调减区间为(-1，-

1

2

)（10分）
②由上知，f（x）的单调递增区间是(-∞，-1)，(-

1

2

，+∞)；单调递减区间为(-1，-

1

2

)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值M=

27

8

，最小值m=

49

16

（12分）
∴对任意x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=

27

8

-

49

16

=

5

16