Question

（附加题）已知函数f（x）=x²+px+q，对于任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0．
（1）求p、q之间的关系式；
（2）求p的取值范围；
（3）如果f（sinθ+2）的最大值是14，求p的值，并求此时f（sinθ）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数的自变量的表示式和三角函数的值域看出自变量的取值范围，得到二次函数的实根的分布情况，根据根与系数的关系得到两个根之积和两个根之和，得到要求的量之间的关系．
（2）根据所给的二次函数对应的函数值和二次函数的性质，得到二次函数的对称轴的范围，根据对称轴的范围得到p的取值范围．
（3）根据二次函数的图象可以得到当1≤x≤3时，f（x）为增函数，所得到x=3时，f（x）取得最大值，根据所给的最大值，求出p，q的值，做出二次函数的最小值．

解答：解：（1）当θ∈R时，-1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，
由已知f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0可知，
对于函数f（x），当-1≤x≤1时，f（x）≤0；当1≤x≤3时，f（x）≥0；
且f（x）的一个根为1，令f（x）另外一根为a，则两根之和1+a=-p，
所以另一根为a=-P-1，
两根之积为1×a=-p-1=q，
所以p，q关系为-p-1=q，即1+p+q=0  　     （3分）
（2）由题意知任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0，
可知 f（1）=0 
又因为要满足f（sinθ）≤0，
所以 f（-1）≤0，
故有对称轴x=-

p

2

≤0
解得P≥0．                              （6分）
（3）根据f（x）的函数的图象可知，
当1≤x≤3时，f（x）为增函数，所以x=3时，f（x）取得最大值
∴f（3）=9+3p+q=14，
∴9+3p-p-1=14，则p=3，q=-4，
得到f（x）=x²+3x-4，
可知，当-1≤x≤1时，f（x）为增函数，
当sinθ=-1时，f（sinθ）取得最小值为-6．

点评：本题考查函数的恒成立问题，考查二次函数的图象和性质，以及在闭区间上求函数的最值，本题解题的关键是对于所给的函数对应的不等式进行整理变形，看出实际上是一个实根分布问题，本题是一个中档题目．