Question

附加题：
已知函数f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a（a为实数），
（1）求不等式f′(x)＞

3

2

-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x₁，x₂∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x2)|＜

5

16

恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求导数：f/(x)=3x 2+2ax+

3

2

，因此不等式f′(x)＞

3

2

-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论可以得出解集的三种不同情况；
（2）根据f′（1）=0解出a=

9

4

，从而f/(x)=3x 2+

9

2

x+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)，讨论其零点即可得出函数f（x）的单调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于

5

16

即可．

解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴3-2a+

3

2

=0，a=

9

4

，
∴f′(x)=3x2+

9

2

x+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)，由f′(x)＞0，x＜-1或x＞-

1

2

；
①由f′(x)＜0，-1＜x＜-

1

2

∴f（x）的单调递增区间是(-∞，-1)，(-

1

2

，+∞)；单调减区间为(-1，-

1

2

)（10分）
②由上知，f（x）的单调递增区间是(-∞，-1)，(-

1

2

，+∞)；单调递减区间为(-1，-

1

2

)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值M=

27

8

，最小值m=

49

16

（12分）
∴对任意x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=

27

8

-

49

16

=

5

16

点评：本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及求函数在某区间上的值域问题，属于中档题．解决本题应注意转化化归思想和分类讨论思想的应用．