Question

6．已知函数f（x）=|log₂（ax）|在x∈[$\frac{1}{4}$，2]上的最大值为M（a），则M（a）的最小值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 对a讨论，当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，当1≤a＜$\sqrt{2}$时，当a≥$\sqrt{2}$时，通过图象，比较f（$\frac{1}{4}$）和f（2）的大小，求得M（a）的范围，即可得到最小值．

解答 解：0＜a＜1的图象如右，
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（$\frac{1}{4}$）=|log₂（$\frac{1}{4}$a）|
=log₂$\frac{4}{a}$，f（2）=log₂$\frac{1}{2a}$，f（$\frac{1}{4}$）＞f（2），
即有M（a）=log₂$\frac{4}{a}$∈（3，+∞），
当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，f（$\frac{1}{4}$）=|log₂（$\frac{1}{4}$a）|
=log₂$\frac{4}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{4}$）＞f（2），
即有M（a）=log₂$\frac{4}{a}$∈（2，3]；
a≥1的图象如右，
当1≤a＜$\sqrt{2}$时，f（$\frac{1}{4}$）=|log₂（$\frac{1}{4}$a）|
=log₂$\frac{4}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{4}$）＞f（2），
即有M（a）=log₂$\frac{4}{a}$∈（$\frac{3}{2}$，2）；
当a≥$\sqrt{2}$时，f（$\frac{1}{4}$）=|log₂（$\frac{1}{4}$a）|
=log₂$\frac{4}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{4}$）＜f（2），
即有M（a）=log₂（2a）∈[$\frac{3}{2}$，+∞）．
综上可得M（a）的范围是[$\frac{3}{2}$，+∞）．
则M（a）的最小值为$\frac{3}{2}$．
故选B．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查对数函数的图象和性质，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．