Question

把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设a_ij（i，j∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数的第j个数（如a₄₂=8）．
（1）试用i表示a_ii（不要求证明）；
（2）若a_ij=2008，求i，j的值；
（3）记三角形数表从上往下数第n行的各数之和为b_n，令cn=

1，(n=1) n bn-n ，(n≥2)

，若数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根据题意可知三角形数表中前n行的个数，进而可推知第i行的最后一个数进而可得a_ii．
（2）先求使得i是不等式

i(i+1)

2

≥2008的最小正整数解．由

i(i+1)

2

≥2008，得i²+i-4016≥0进而可解得i的范围确定i的最小值．
（3）先求得前n行的所有自然数的和进而根据b_n=S_n-S_n-1求得b_n，代入C_n中进而通过裂项法求得T_n．

解答：解：（1）∵三角形数表中前n行共有1+2++n=

n(n+1)

2

个，
即第i行的最后一个数是

i(i+1)

2

∴a_ii=

i(i+1)

2

（2）由题意，先求使得i是不等式

i(i+1)

2

≥2008的最小正整数解．
由

i(i+1)

2

≥2008，得i²+i-4016≥0
∵i∈N^*，∴i≥

-1+ 16065

2

＞

-1+ 15876

2

=

-1+126

2

=62.5，∴i=63

（3）前n行的所有自然数的和为Sn=

1

2

×

n(n+1)

2

[

n(n+1)

2

+1]=

n(n+1)(n2+n+2)

2

则bn=Sn-Sn-1=

n(n2+1)

2

，
所以，当n≥2时，cn=

n

bn-n

=

2

n2-1

=

1

n-1

-

1

n+1

，Tn=1+(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

n-1

-

1

n+1

)
=1+1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

5

2

-

1

n

-

1

n+1

=

5

2

-

2n+1

n(n+1)

当n=1时，T_n=1也适合，
∴Tn=

5

2

-

2n+1

n(n+1)

 (n∈N*)．

点评：本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题目，常与求数列的通项公式和前n项和一块考查，有时也涉及与函数、不等式等问题，综合性很强．