【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)证明:AE⊥平面PCD;
(3)求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值.
【答案】
(1)解:在四棱锥P﹣ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD,
∴PA⊥AB,又AB⊥AD,PA∩AD=A,
∴AB⊥平面PAD,∴∠APB是PB与平面PAD所成的角,
在Rt△PAB中,AB=PA,∴∠APB=45°,
∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°
(2)解:证明:在四棱锥P﹣ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,∴CD⊥PA,
由条件AC⊥CD,PA⊥底面ABCD,利用三垂线定理得CD⊥PC,PA∩AC=A,
∴CD⊥面PAC,
又AE面PAC,∴AE⊥CD,
由PA=AB=BC,∠ABC=60°,得AC=PA,
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC,
又PC∩CD=C,
综上,AE⊥平面PCD
(3)解:过点E作EM⊥PD,AM在平面PCD内的射影是EM,则AM⊥PD,
∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角,
由已知得∠CAD=30°,
设AC=a,得PA=a,AD= ,PD=
,AE=
,
在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AMPD=PAAD,
∴AM= =
,
在Rt△AEM中,sin∠AME= .
∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为 .
【解析】(1)由线面垂直得PA⊥PB,又AB⊥AD,从而AB⊥平面PAD,进而∠APB是PB与平面PAD所成的角,由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小.(2)由线面垂直得CD⊥PA,由条件CD⊥PC,得CD⊥面PAC,由等腰三角形得AE⊥PC,由此能证明AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,AM在平面PCD内的射影是EM,则AM⊥PD,由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角,由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想,以及对空间角的异面直线所成的角的理解,了解已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 已知a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*).
(1)设bn=an+1﹣2an , 证明数列{bn}是等比数列(要指出首项、公比);
(2)若cn=nbn , 求数列{cn}的前n项和Tn .
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【题目】有一批数量很大的产品,其次品率是10%.
(1)连续抽取两件产品,求两件产品均为正品的概率;
(2)对这批产品进行抽查,每次抽出一件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过4次,求抽查次数ξ的分布列及期望.
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【题目】设函数f(x)=x2﹣2tx+2,g(x)=ex﹣1+e﹣x+1 , 且函数f(x)的图象关于直线x=1对称.
(1)求函数f(x)在区间[0,4]上最大值;
(2)设 ,不等式h(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数k的取值范围;
(3)设F(x)=f(x)+ag(x)﹣2有唯一零点,求实数a的值.
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【题目】已知函数f(x)=x|x﹣a|+x.
(1)当a=3时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求所有的实数a,使得对任意x∈[1,4],函数f(x)的图象恒在函数g(x)=x+4图象的下方.
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【题目】函数f(x)= +
的定义域为( )
A.[﹣1,2)∪(2,+∞)
B.[﹣1,+∞)
C.(﹣∞,2)∪(2,+∞)
D.(﹣1,2)∪(2,+∞)
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=x2(x﹣a).
(1)若函数f(x)在区间 内是减函数,求实数a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值h(a).
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【题目】根据所学知识完成题目:
(1)若a、b、m、n∈R+ , 求证: ;
(2)利用(1)的结论,求下列问题:已知 ,求
的最小值,并求出此时x的值.
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