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    14．2013年8月28日-30日，第六届豫商大会在“三商之源、华商之都”的商丘市举行，为了搞好接待工作，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如所示的茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
    （Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
    （Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

    分析 （Ⅰ）先根据根据茎叶图，求出“高个子”，“非高个子”的人数，用分层抽样的方法，求出每个人被抽中的概率，从而求出选中的“高个子”，“非高个子”人数，进而求出相对应的概率；
    （Ⅱ）由题意得：X=0，1，2，3，求出相对应的概率，从而写出X的分布列，X的数学期望．

    解答 解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
    用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是$\frac{5}{30}$=$\frac{1}{6}$，
    ∴选中的“高个子”有12×$\frac{1}{6}$=2人，“非高个子”有18×$\frac{1}{6}$=3人，
    用事件A表示“至少有一名高个子被选中”，
    则它的对立事件$\overline{A}$表示“没有一名高个子被选中”，
    则P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=1-$\frac{3}{10}$=$\frac{7}{10}$，
    ∴至少有一人是“高个子”的概率是$\frac{7}{10}$；
    （Ⅱ）由题意得：X=0，1，2，3，
    P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{14}{55}$，P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{8}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{28}{55}$，
    P（ξ=2）=$\frac{{{C}_{4}^{2}C}_{8}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{12}{55}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{55}$，
    ∴ξ的分布列如下：

     ξ 012 3
     P $\frac{14}{55}$$\frac{28}{55}$ $\frac{12}{55}$ $\frac{1}{55}$
    ∴E（ξ）=0×$\frac{14}{55}$+1×$\frac{28}{55}$+2×$\frac{12}{55}$+3×$\frac{1}{55}$=1．

    点评 本题考察了离散型随机变量的期望和方差，本题是一道中档题．

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    4．若f（x）为定义在区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（　　）
    ①f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，②f（x）=$\sqrt{x}$，③f（x）=$\frac{ln（x+1）}{x}$，④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
    A．4B．3C．2D．1

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

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    （1）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
    （2）计算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（201）．

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    2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=$\sqrt{3}$，cos2A-cos2B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB
    （1）求角C的大小；
    （2）求△ABC的面积的最大值．

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    9．如图，AB是圆O的直径，C、F为圆O上点，CA是∠BAF的角平分线，CD与圆O切于点C且交AF的延长线于点D，CM⊥AB，垂足为点M，求证：
    （1）CD⊥AD；
    （2）若圆O的半径为1，∠BAC=30°，试求DF•AM的值．

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    19．若函数f（x）在定义域的某子区间上满足f（x）=$\frac{1}{λ}f（{x-λ}）$（λ为正实数），则称其为λ-局部倍缩函数．若函数f（x）在x∈[0，2]时，f（x）=sinπx，且x∈（2，+∞）时，f（x）为λ=2的局部倍缩函数．现有下列4个命题：
    ①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≤2恒成立；
    ②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y=f（x）-ln（x-1）有5个零点；④对任意x＞0，若不等式f（x）≤$\frac{k}{x}$恒成立，则k的最小值是$\frac{5}{4}$．
    则其中所有真命题的序号是①④．

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    15．下列三函数中，与sin$\frac{π}{3}$数值相同的是（　　）
    ①sin（nπ+$\frac{4}{3}$π）
    ②cos（2nπ+$\frac{π}{6}$）；
    ③sin（2nπ+$\frac{π}{3}$）；
    ④cos[（2n+1）π-$\frac{π}{6}$]；
    ⑤sin[（2n+1）π-$\frac{π}{3}$]（n∈Z）．
    A．①②B．①③④C．②③⑤D．①⑤

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