Question

9．如图，AB是圆O的直径，C、F为圆O上点，CA是∠BAF的角平分线，CD与圆O切于点C且交AF的延长线于点D，CM⊥AB，垂足为点M，求证：
（1）CD⊥AD；
（2）若圆O的半径为1，∠BAC=30°，试求DF•AM的值．

Answer 1

分析 （1）由CA是∠BAF的角平分线推理出OC∥AD，DC是圆O的切线，所以CD⊥OC，则CD⊥AD；
（2）由圆的切割线定理得到DC=CM，求出DF•AM的值．

解答 解：（1）连接OC，则有∠OAC=∠OCA．
又CA是∠BAF的角平分线，∠OAC=∠FAC，所以∠FAC=∠ACO，所以OC∥AD．
因为DC是圆O的切线，所以CD⊥OC，则CD⊥AD．
（2）由题意知△AMC≌△ADC，所以DC=CM，DA=AM．
因为DC是圆O的切线，由切割线定理，得DC²=DF•DA=DF•AM=CM²．
在Rt△ABC中，AC=AB•cos∠BAC=$\sqrt{3}$，
所以CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
于是DF•AM=CM²=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查平面几何证明中圆的基本性质的应用，考查切割线定理，属于中档题．