Question

10．已知正数x，y满足x+y=4，求$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$）（x+y）=$\frac{1}{4}$（3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵正数x，y满足x+y=4，
∴$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$）（x+y）
=$\frac{1}{4}$（3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$）≥$\frac{1}{4}$（3+2$\sqrt{2}$），
当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{2x}{y}$即x=4（$\sqrt{2}$-1）且y=4（2-$\sqrt{2}$）时取等号，
∴$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值为$\frac{1}{4}$（3+2$\sqrt{2}$）

点评 本题考查基本不等式求最值，整体法是解决问题的关键，属基础题．