Question

5．在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，-2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{BM}$|=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AP}$+2的动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1-cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量由|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{BM}$|=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AP}$+2得到点M的轨迹方程．
（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x-1），直线和抛物线联立求得方程，利用韦达定理列得条件，根据题目条件列式求解．

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y）则$\overrightarrow{AM}=（x-1，y-2）$，$\overrightarrow{BM}=（x-1，y+2）$
从而$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=（2x-2，2y）$，所以|$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$|=$\sqrt{（2x-2）^{2}+4{y}^{2}}$，又$\overrightarrow{AP}=（2，0）$，则$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AP}=2x$
由已知，$\sqrt{（2x-2）^{2}+4{y}^{2}}=2x+2$，则（x-1）²+y²=（x+1）²，即y²=4x．
（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x-1）
联立y²=4x，消去x，得y=tanα（$\frac{{y}^{2}}{4}-1$），
即y²tanα-4y-4tanα=0，
设点D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
则y₁+y₂=$\frac{4}{tanα}$，x₁+x₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{tanα}+2=\frac{4}{ta{n}^{2}α}+1$，${y}_{0}=\frac{2}{tanα}$
所以线段DE的垂直平分线方程为
$y-\frac{2}{tanα}=-\frac{1}{tanα}（x-\frac{2}{ta{n}^{2}α}-1）$
令y=0，得x=$\frac{2}{ta{n}^{2}α}+3$，所以点T（$\frac{2}{ta{n}^{2}α}+3，0$）
故|FT|=（1-cos2α）=（$\frac{2}{ta{n}^{2}α}+2$）（1-cos2α）=2（$\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}+1$）
2sin²α=4为定值．

点评 本题考查了圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，在高考中属常考题型．