Question

4．△ABC中，周长为6，a，b，c三边成等比数列，求三角形面积最大值．

Answer 1

分析 由a、b、c成等比数列得b²=ac，由余弦定理和基本不等式，即可得到B的范围，由周长为6和基本不等式求出b的范围，代入三角形的面积公式可求出面积的最大值．

解答 解：∵a、b、c成等比数列，∴b²=ac，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当a=c时取等号，
∵0＜B＜π，∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，
∵三角形周长为6，b²=ac，∴a+b+c=6，
∵a+c≥2$\sqrt{ac}$=2b（当且仅当a=c时取等号），∴6-b≥2b，即0＜b≤2，
则b的取值范围是（0，2]；
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$b²sinB≤$\frac{1}{2}×4×sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴当且仅当a=c=b=2、B=$\frac{π}{3}$时，三角形面积取最大值是$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理，三角形的面积公式的应用，以及基本不等式求最值的应用，属于中档题．