Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．且过点（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l过椭圆C的右焦点F且与椭圆C交于A，B两点，在椭圆C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．且过点（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1），建立方程求得a和b，即可椭圆C的标准方程．
（2）把l：x=ty+1代入椭圆方程，由韦达定理可求得y₁+y₂和y₁y₂的表达式，可得点P的坐标，代入椭圆方程，求得t，进而求得P点坐标与直线l的方程．

解答 解：（1）由已知得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}$c，∴b=$\sqrt{2}$c
又椭圆过点（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1），代入椭圆方程得c=1，
∴a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）假设存在满足题设条件的直线
由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为l：x=ty+1
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），把l：x=ty+1代入椭圆方程得$\frac{（ty+1）^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
整理得（2t²+3）y²+4ty-4=0，显然△＞0．
由韦达定理有：y₁+y₂=-$\frac{4t}{2{t}^{2}+3}$，
∴x₁+x₂=$\frac{6}{2{t}^{2}+3}$
∴P（$\frac{6}{2{t}^{2}+3}$，-$\frac{4t}{2{t}^{2}+3}$）
∵P在椭圆上，∴代入椭圆方程整理得（2t²+3）（2t²-1）=0
∴t=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），直线的方程为$\sqrt{2}x$-y-$\sqrt{2}$=0．
当t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），直线的方程为$\sqrt{2}x$+y-$\sqrt{2}$=0．

点评 本题考查椭圆C的方程的求法，探究椭圆C上是否存在点P，使得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，有难度．