Question

11．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据题意和向量的数量积化简$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=2（|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}）$，求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的关系，再将式子$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|两边平方，化简后可求出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，且$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=2（|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}）$，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+3|\overrightarrow{a}{|}^{2}=2（|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}）$，化简可得，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，
由$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|得，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|，
两边平方可得，${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$-\frac{1}{2}$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{2π}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积运算的综合应用，以及结论：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=2（|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}）$，属于中档题．