Question

9．设点P为圆O：x²+y²=4上的一动点，点Q为点P在x轴上的射影，动点M满足：$\overrightarrow{MQ}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）过点F（-$\sqrt{3}$，0）作直线l交圆O于A、B两点，交（1）中的轨迹E于点C、D两点，问：是否存在这样的直线l，使得$\sqrt{|AF|•|BF|}$=$\frac{|CF|+|DF|}{2}$成立？若存在，求出所有的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y），根据P在圆上求得M点轨迹方程．
（2）设其方程为y=k（x+$\sqrt{3}$），代入x²+y²=4，整理得$（1+{k}^{2}）{x}^{2}+2\sqrt{3}{k}^{2}x+3{k}^{2}-4=0$，求出|AF|，|BF|得到$\sqrt{|AF||BF|}$，再将y=k（x+$\sqrt{3}$）代入x²+4y²=4，整理得（1+4k²）x²+8$\sqrt{3}$k²x+4（3k²-1）=0，求出|CF|，|DF|，得到$\frac{|CF|+|DF|}{2}$，根据条件求出k值．

解答 解：（1）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）
因为P在圆O：x²+y²=4，所以x²+4y²=4
故所求动点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
（2）①当直线l垂直于x轴时，由于F（$-\sqrt{3}，0$）易知|AF|=|BF|=1，|CF|=|DF|=$\frac{1}{2}$，所以$\sqrt{|AF||BF|}≠\frac{|CF|+|DF|}{2}$，不合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，设其方程为y=k（x+$\sqrt{3}$），代入x²+y²=4，整理得$（1+{k}^{2}）{x}^{2}+2\sqrt{3}{k}^{2}x+3{k}^{2}-4=0$，
△1=$（2\sqrt{3}{k}^{2}）^{2}-4（1+{k}^{2}）（3{k}^{2}-4）＞0$
设A（x1，y1），B（x2，y2），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2\sqrt{3}{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}$
所以|AF|=$\sqrt{（{x}_{1}+\sqrt{3}）^{2}+{y}_{1}^{2}}=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}+\sqrt{3}|$
|BF|=$\sqrt{（{x}_{2}+\sqrt{3}）^{2}+{y}_{2}^{2}}=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}+\sqrt{3}|$
从而$\sqrt{|AF||BF|}=（1+{k}^{2}）|（{x}_{1}+\sqrt{3}）（{x}_{2}+\sqrt{3}）|$=$（1+{k}^{2}）|{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+3|$
=$（1+{k}^{2}）|\frac{3{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}-\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+3|=1$
将y=k（x+$\sqrt{3}$）代入x²+4y²=4，整理得（1+4k²）x²+8$\sqrt{3}$k²x+4（3k²-1）=0
△2=$（8\sqrt{3}{k}^{2}）^{2}-16（1+4{k}^{2}）（3{k}^{2}-1）＞0$
设C（x3，y3）D（x4，y4），则${x}_{3}+{x}_{4}=-\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，{x}_{3}{x}_{4}=\frac{4（3{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$
所以|CF|=$\sqrt{（{x}_{4}+\sqrt{3}）^{2}+{y}_{3}^{2}}=\sqrt{\frac{（\sqrt{3}{x}_{3}+4）^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}{x}_{3}+4}{2}$
|DF|=$\sqrt{（{x}_{4}+\sqrt{3}）^{2}+{y}_{4}^{2}}=\sqrt{\frac{（\sqrt{3}+{x}_{4}）^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}{x}_{4}+4}{2}$
从而$\frac{|CF|+|DF|}{2}=2+\frac{\sqrt{3}}{4}（{x}_{3}+{x}_{4}）=\frac{2+2{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$
故$\sqrt{|AF||BF|}=\frac{|CF|+|DF|}{2}$?$1=\frac{2+2{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$?${k}^{2}=\frac{1}{2}$?$k=±\frac{\sqrt{2}}{2}$
综上，存在两条符合条件的直线，其方程为y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}（x+\sqrt{3}）$

点评 本题主要考查轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的综合问题，属于难度较大的题，高考经常涉及．