Question

4．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱DD₁、C₁D₁的中点．
（1）求直线BE和平面ABB₁A₁所成角θ的正弦值；
（2）证明：B₁F∥平面A₁BE．

Answer 1

分析 （1）取AA₁的中点G，并连接GE，BG，从而可说明∠EBG为直线BE和平面ABB₁A₁所成角，从而θ=∠EBG，可设正方体的边长为a，在直角三角形EBG中，即可求出sinθ=$\frac{GE}{BE}$；
（2）连接FE，C₁D，AB₁，并设AB₁交AB₁于H，连接EH，容易说明四边形B₁FEH为平行四边形，从而得到B₁F∥HE，根据线面平行的判定定理即可得出直线B₁F∥平面A₁BE．

解答 解：（1）如图，设G是AA₁的中点，连接GE，BG；
∵E为DD₁的中点，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体；
∴GE∥AD，又∵AD⊥平面ABB₁A₁；
∴GE⊥平面ABB₁A₁；
∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB₁A₁所成角，即∠EBG=θ；
设正方体的棱长为a，∴GE=a，$BG=\frac{{\sqrt{5}}}{2}a$，$BE=\sqrt{B{G^2}+G{E^2}}=\frac{3}{2}a$；
∴直线BE和平面ABB₁A₁所成角θ的正弦值为：sinθ=$\frac{GE}{BE}=\frac{2}{3}$；
（2）证明：如图，连接EF、AB₁、C₁D，记AB₁与A₁B的交点为H，连接EH；

∵H为AB₁的中点，且B₁H=$\frac{1}{2}$C₁D，B₁H∥C₁D；
而EF=$\frac{1}{2}$C₁D，EF∥C₁D；
∴B₁H∥EF且B₁H=EF；
∴四边形B₁FEH为平行四边形；
∴B₁F∥HE；
又∵B₁F?平面A₁BE，HE?平面A₁BE；
∴B₁F∥平面A₁BE．

点评 考查平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，线面角的定义及求法，正弦函数的定义，平行四边形的定义，以及线面平行的判定定理．