Question

13．设f（x）=lnx+ae^x，g（x）=x³-x²-3．
（1）求g（x）的单调区间及在x=2处的切线方程l；
（2）若对任意的x∈（$\frac{1}{2}$，2），函数y=f（x）的图象都在直线l的下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的单调性即可求出g（x）的单调区间，再根据导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）由于y=8x-15，在x∈（$\frac{1}{2}$，2）单调递增，故函数y=f（x）的图象都在直线l的下方，转化为lnx+ae^x＜-11，在x∈（$\frac{1}{2}$，2）恒成立，分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）∵g（x）=x³-x²-3，
∴g′（x）=3x²-2x，
令g′（x）=3x²-2x=0解得x=0，或x=$\frac{2}{3}$，
当g′（x）＞0时，即x＜0，或x＞$\frac{2}{3}$，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，即0＜x＜$\frac{2}{3}$，函数单调递减，
∴函数g（x）在（-∞，0），或（$\frac{2}{3}$，+∞）上单调递增，在（0，$\frac{2}{3}$）上单调递减，
∴g′（2）=3×4-2×2=8，g（2）=8-4-3=1，
∴在x=2处的切线方程l为y-1=8（x-2），即y=8x-15，即8x-y-15=0；
（2）∵对任意的x∈（$\frac{1}{2}$，2），函数y=f（x）的图象都在直线l的下方，
∵y=8x-15，在x∈（$\frac{1}{2}$，2）单调递增，
∴y_min=8×$\frac{1}{2}$-15=-11，
∴lnx+ae^x＜-11，在x∈（$\frac{1}{2}$，2）恒成立，
∴a＜-$\frac{11+lnx}{{e}^{x}}$，
设h（x）=-$\frac{11+lnx}{{e}^{x}}$，
∴h′（x）=$\frac{x（11+lnx）-1}{{e}^{x}}$，
令m（x）=11x+xlnx-1，
∴m′（x）=11+lnx＞0，在x∈（$\frac{1}{2}$，2）恒成立，
∴m（x）＞m（$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{2}$+$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$-1=$\frac{1}{2}$（9-ln2）＞0，
∴h（x）在（$\frac{1}{2}$，2）单调递增，
∴h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{11-ln2}{\sqrt{e}}$=$\frac{ln2-11}{\sqrt{e}}$，
∴a≤$\frac{ln2-11}{\sqrt{e}}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．