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    5．已知点H（0，-2），椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F是椭圆E的右焦点，直线HF的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
    （I）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）点A为椭圆E的右顶点，过B（1，0）作直线l与椭圆E相交于S，T两点，直线AS，AT与直线x=3分别交于不同的两点M，N，求|MN|的取值范围．

    分析 （I）利用直线HF的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求出c，利用离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，可得b，即可求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）分类讨论，直线与椭圆方程联立，由S，A，M三点共线，可求|MN|的取值范围．

    解答 解：（I）由题意，F（c，0），
    ∵直线HF的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴$\frac{2}{c}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴c=$\sqrt{3}$，
    ∵离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
    ∴$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
    ∴a=2，b=1，
    ∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
    （Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，S（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），T（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
    由S，A，M三点共线，得M（3，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
    同理N（3，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
    ∴|MN|=$\sqrt{3}$；
    当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x-1），S（x1，y1），T（x2，y2），M（3，yM），N（3，yN）
    由S，A，M三点共线，得yM=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，yN=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
    y=k（x-1）代入椭圆方程可得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．
    则x1+x2=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x1x2=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
    ∴|x1-x2|=$\frac{4\sqrt{1+3{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
    ∴|MN|=|yM-yN|=$\frac{\sqrt{1+3{k}^{2}}}{|k|}$=$\sqrt{3+\frac{1}{{k}^{2}}}$＞$\sqrt{3}$，
    综上，|MN|≥$\sqrt{3}$．

    点评 本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查韦达定理的运用，属中档题．

    练习册系列答案
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    A．h（x1）＜0，h（x2）＜0B．h（x1）＞0，h（x2）＞0C．h（x1）＞0，h（x2）＜0D．h（x1）＜0，h（x2）＞0

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    16．函数y=4sin（ωx+$\frac{π}{4}$）cos（ωx-$\frac{π}{4}$）-2sin（ωx-$\frac{π}{4}$）•cos（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的图象与直线y=3在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，P4…，且|P3P5|=$\frac{π}{2}$，则此函数的递增区间为（　　）
    A．[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）B．[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）
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    13．设f（x）=lnx+aex，g（x）=x3-x2-3．
    （1）求g（x）的单调区间及在x=2处的切线方程l；
    （2）若对任意的x∈（$\frac{1}{2}$，2），函数y=f（x）的图象都在直线l的下方，求实数a的取值范围．

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    20．根据图中数据，可得该几何体的表面积是12π．

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    （2）设[x]表示不超过x的最大整数.${C}_{n}^{x}$=$\frac{n（n-1）…（n-[x]+1）}{x（x-1）…（x-[x]+1）}$，x∈[1，+∞）．若x∈[$\frac{3}{2}$，3]，求C${\;}_{8}^{x}$值域．

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    17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦点F1，F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）过椭圆C上任意一点P做椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M，求点M的轨迹方程；
    （Ⅲ）若切线MP与直线x=-2交于点N，求证：$\frac{{|N{F_1}|}}{{|M{F_1}|}}$为定值．

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    14．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
    （1）求椭圆C的方程；
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