Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦点F₁，F₂与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C上任意一点P做椭圆C的切线与直线F₁P的垂线F₁M相交于点M，求点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若切线MP与直线x=-2交于点N，求证：$\frac{{|N{F_1}|}}{{|M{F_1}|}}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出a，b的值则求出椭圆方程．
（Ⅱ）设出切线方程，表示出MF1的方程，继而根据条件求出轨迹方程．
（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为M（-8，y_M）、N（-2，y_N），点N在切线MP上，由①式得   ${y_N}=\frac{{3（{x_0}+8）}}{{2{y_0}}}$，点M在直线MF₁上，由②式得  ${y_M}=\frac{{6（{x_0}+2）}}{y_0}$，由上述2式求解．

解答 解：（Ⅰ）依题意，2c=a=4，∴c=2，b=$2\sqrt{3}$；
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$；    …（2分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），由（Ⅰ），F₁（-2，0），设P（x₀，y₀），M（x，y）
过椭圆C上过P的切线方程为：$\frac{{{x_0}x}}{16}+\frac{{{y_0}y}}{12}=1$，①
直线F₁P的斜率${k_{{F_1}P}}=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}$，则直线MF₁的斜率${k_{M{F_1}}}=-\frac{{{x_0}+2}}{y_0}$，
于是，则直线MF₁的方程为：$y=-\frac{{{x_0}+2}}{y_0}（x+2）$，
即  yy₀=-（x₀+2）（x+2），②
①、②联立，解得 x=-8，
∴点M的轨迹方程为 x=-8；    …（8分）
（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为M（-8，y_M）、N（-2，y_N），
点N在切线MP上，由①式得   ${y_N}=\frac{{3（{x_0}+8）}}{{2{y_0}}}$，
点M在直线MF₁上，由②式得  ${y_M}=\frac{{6（{x_0}+2）}}{y_0}$，$|N{F}_{1}{|}^{2}={{Y}_{N}}^{2}=\frac{9（{x}_{0}+8）^{2}}{4{y}^{2}}$，$|M{F}_{1}{|}^{2}=[（-2）-（-8）]^{2}+{{y}_{M}}^{2}$=$\frac{36[{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}+2）^{2}]}{{{y}_{0}}^{2}}$，
∴$\frac{|N{F}_{1}{|}^{2}}{|M{F}_{1}{|}^{2}}=\frac{9（{x}_{0}+8）^{2}}{4{y}^{2}}•\frac{{y}^{2}}{36[{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}+2）^{2}]}$=$\frac{1}{16}\frac{（{x}_{0}+8）^{2}}{{y}_{0}^{2}+（{x}_{0}+2）^{2}}$，③
注意到点P在椭圆C上，即 $\frac{x_0^2}{16}+\frac{y_0^2}{12}=1$，
于是${y}_{0}=\frac{48-{x}^{2}}{4}$代人③式并整理得 $\frac{{|N{F_1}{|^2}}}{{|M{F_1}{|^2}}}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{|N{F_1}|}}{{|M{F_1}|}}$的值为定值$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查椭圆方程和轨迹方程的求解方法和直线与圆锥曲线的综合问题，属于难度较大的题目．