Question

2．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设直线l₁；y=x+m₁与椭圆交于A、B两点，直线l₂：y=x+m²与椭圆交于C、D两点，若四边形ABCD是平行四边形，求四边形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到椭圆方程；
（2）将直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，化简整理再由三角形的面积公式和基本不等式，计算即可得到△ABO的面积的最大值，再由四边形ABCD的面积为S=4S_△OAB．即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²-b²=c²，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）直线l₁；y=x+m₁与椭圆方程联立，可得
5x²+8m₁x+4m₁²-4=0，
则x₁+x₂=-$\frac{8{m}_{1}}{5}$，x₁x₂=$\frac{4（{{m}_{1}}^{2}-1）}{5}$，
|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•$$\sqrt{\frac{64{{m}_{1}}^{2}}{25}-\frac{16（{{m}_{1}}^{2}-1）}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$•$\sqrt{5-{{m}_{1}}^{2}}$，
O到直线AB的距离为d=$\frac{|{m}_{1}|}{\sqrt{2}}$，
即有△OAB的面积为S_△OAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{2}{5}$$\sqrt{{{m}_{1}}^{2}（5-{{m}_{1}}^{2}）}$
≤$\frac{2}{5}$$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}}$=1，当且仅当m₁²=$\frac{5}{2}$，即m₁=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，取得最大值1．
即有四边形ABCD的面积为S=4S_△OAB，且最大值为4．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，基本不等式，考查化简整理的运算能力．