Question

7．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的AA₁=1，底面ABCD的周长为4．
（1）当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，求直线BA₁与平面A₁CD所成角；
（2）线段A₁C上是否存在一点P，使得A₁C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先设AB=b，AD=2-b，分别以AB，AD，AA₁三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可写出空间一些点的坐标，根据条件即可求出b=1．设平面A₁CD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，设直线BA₁和平面A₁CD所成角为θ，由sin$θ=|cos＜\overrightarrow{B{A}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{1}}＞|$即可求出θ；
（2）设存在P点满足条件，设P（x，y，z），从而有$\overrightarrow{{A}_{1}P}=t\overrightarrow{{A}_{1}C}$，这样即可用t，b表示出P点坐标，而根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$即可求出b，t，从而能够确定出P点的位置．

解答 解：设AB=b，则AD=2-b，分别以边AB，AD，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），B（b，0，0），C（b，2-b，0），D（0，2-b，0），A₁（0，0，1）；
（1）根据条件，2（AB+AD）=4；
∴2=AB+AD≥2$\sqrt{AB•AD}$；
∴AB•AD≤1，当AB=AD=1时取“=”，∴此时b=1，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）；
∴$\overrightarrow{B{A}_{1}}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{CD}=（-1，0，0）$，$\overrightarrow{C{A}_{1}}=（-1，-1，1）$，设平面A₁CD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=-{x}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=-{x}_{1}-{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取z₁=1，则$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，1，1）$；
设直线BA₁与平面A₁CD所成角为θ，则：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{B{A}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{1}}＞|$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
∴θ=30°；
即直线BA₁和平面A₁CD所成角为30°；
（2）假设在线段A₁C上存在点P满足条件，设P（x，y，z），∴存在t，使$\overrightarrow{{A}_{1}P}=t\overrightarrow{{A}_{1}C}$；
∴（x，y，z-1）=t（b，2-b，-1）；
∴P（bt，（2-b）t，1-t），$\overrightarrow{BP}=（b（t-1），（2-b）t，1-t）$，$\overrightarrow{BD}=（-b，2-b，0）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3t-b-1=0}\\{2-2b=0}\end{array}\right.$；
∴$b=1，t=\frac{2}{3}$；
即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A₁C上A₁P：PC=2：1处．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角，解决线面垂直问题的方法，基本不等式的运用，长方体的体积公式，以及平面法向量的概念及求法，直线和平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式，线面垂直的性质，两向量垂直的充要条件．