Question

10．（1）求$\frac{1}{{C}_{n}^{3}}$-$\frac{1}{{C}_{n}^{4}}$＜$\frac{1}{{C}_{n}^{12}}$的解集．
（2）设[x]表示不超过x的最大整数.${C}_{n}^{x}$=$\frac{n（n-1）…（n-[x]+1）}{x（x-1）…（x-[x]+1）}$，x∈[1，+∞）．若x∈[$\frac{3}{2}$，3]，求C${\;}_{8}^{x}$值域．

Answer 1

分析 （1）根据排列数公式，化简计算，再验证即可到解集．
（2）对于题目中新定义的：“C_n^x”理解是解决此题的问题，如求${C}_{8}^{\frac{3}{2}}$，它是由一个分式的分子和分母两部分构成，分子是8，分母是的分数．按此理解将函数C^x₈的值域问题转化成一个函数的值域．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{{C}_{n}^{3}}$-$\frac{1}{{C}_{n}^{4}}$＜$\frac{1}{{C}_{n}^{12}}$，
∴$\frac{3!（n-3）_!}{n!}$-$\frac{4!（n-4）!}{n!}$＜$\frac{12!（n-12）!}{n!}$，
∴3!（n-3）!-4!（n-4）!＜12!（n-12）!，
∴3!（n-4）（n-5）…（n-11）（n-7）＜12!，
∴（n-4）（n-5）…（n-11）（n-7）＜2×11!，
当n=15时，（n-4）（n-5）…（n-11）（n-7）=11×10×9×8×7×6×5×4×8＞2×11!，
当n=14时，（n-4）（n-5）…（n-11）（n-7）=10×9×8×7×6×5×4×3×7＜2×11!，
∵n≥12，
∴n=12，13，14，
∴$\frac{1}{{C}_{n}^{3}}$-$\frac{1}{{C}_{n}^{4}}$＜$\frac{1}{{C}_{n}^{12}}$的解集为{12，13，14}
（2）当x∈[$\frac{3}{2}$，2]时，${C}_{8}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{8}{\frac{3}{2}}$=$\frac{16}{3}$，当x→2时，[x]=1，所以C₈^x=$\frac{8}{2}$=4，
当[2，3）时，C₈²=$\frac{8×7}{2×1}$=28，
当x→3时，[x]=2，C₈^x=$\frac{8×7}{x（x-1）}$=$\frac{56}{x（x-1）}$，
又∵当x∈[2，3）时，f（x）=x（x-1）∈[2，6），
∴$\frac{56}{x（x-1）}$∈（$\frac{28}{3}$，28]，
∴故C₈^x的值域为（$\frac{16}{3}$，4]∪（$\frac{28}{3}$，28]．

点评 本本题是一道创新题，新的高考，每年均会出现一定新颖的题目，我们只要认真审题，细心研究，活用基础知识，把握数学思想、数学方法，构建知识结构和认知结构，实现知识到能力的转化，属于中档题．