Question

12．专家通过研究学生的学习行为，发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（x）表示学生注意力随时间x（分钟）的变化规律．（f（x）越大，表明学生注意力越大），经过试验分析得知：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+24x+100，0＜x≤10\\ 240，10＜x＜20\\-7x+380，20≤x≤40\end{array}\right.$
（Ⅰ）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？
（Ⅱ）讲课开始后5分钟时与讲课开始后25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？
（Ⅲ）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲完这道题目？

Answer 1

分析 （Ⅰ）对分段函数讨论，当0＜x≤10时，10＜x＜20时，当20＜x≤40时，分析函数的单调性，求得最大值即可；
（Ⅱ）代入分段函数，计算即可得到；
（Ⅲ）当0＜x≤10时，令y=180，解得x=4，当20＜x≤40时，令y=380-7x=180，解得x，作差即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，y=-x²+24x+100=-（t-12）²+244，
对称轴x=12，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，
当x=10时，y取得最大值240，
10＜x＜20时，y=240．
当20＜x≤40时，y=380-7x，y随x的增大而减小．
此时y＜240．
故x=10，y_max=240，
即有讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟；
（Ⅱ）当t=5时，y=195，当t=25时，y=205，
则讲课开始后5分钟时与讲课开始后25分钟时比较，讲课后25分钟，学生的注意力更集中；
（Ⅲ）当0＜x≤10时，令y=-x²+24x+100=180，
解得x=4，
当20＜x≤40时，令y=380-7x=180，
解得x=28.57．
由于28.57-4＞24，
则经过适当安排，老师能在学生达到所需的状态下讲完这道题目．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查二次函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题．