Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M（b，a），O为坐标原点，若直线OM与直线l：xsinB+y（sinB-sinA）+（a-c）sinC-asinB=0垂直，垂足为M，则$\frac{c}{a}$=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 根据直线OM与l垂直，得出asinB-b（sinB-sinA）=0①，
再由点M（b，a）在直线l上，得bsinB+a（sinB-sinA）+（a-c）sinC-asinB=0②，
由①②，结合正弦定理，求出$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：根据题意，得；
直线OM的方程为y=$\frac{a}{b}$x，
即ax-by=0；
又OM⊥l，
∴asinB-b（sinB-sinA）=0，
即asinB-bsinB+bsinA=0；
由正弦定理得asinB=bsinA，
∴2asinB=bsinB，
∴b=2a；
又点M（b，a）在直线l上，
∴bsinB+a（sinB-sinA）+（a-c）sinC-asinB=0，
即bsinB-asinA+asinC-csinC=0，
∴2asinB-asinA+asinC-csinC=0，
∴2bsinA-asinA+asinC-csinC=0，
∴4asinA-asinA+asinC-csinC=0，
∴3asinA+asinC-csinC=0；
由正弦定理得3a²+ac-c²=0，
即3+$\frac{c}{a}$-${（\frac{c}{a}）}^{2}$=0，
∴${（\frac{c}{a}）}^{2}$-$\frac{c}{a}$-3=0，
解得$\frac{c}{a}$=$\frac{1±\sqrt{13}}{2}$，
应取$\frac{c}{a}$=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了正弦定理的灵活应用问题，考查了计算能力与逻辑思维能力，是综合性题目．