Question

16．函数y=4sin（ωx+$\frac{π}{4}$）cos（ωx-$\frac{π}{4}$）-2sin（ωx-$\frac{π}{4}$）•cos（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的图象与直线y=3在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，P₄…，且|P₃P₅|=$\frac{π}{2}$，则此函数的递增区间为（　　）

• A． [2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）
• B． [$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）
• C． [kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）
• D． [$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）

Answer 1

分析 利用两角差的正弦函数、二倍角的余弦化简函数的表达式为：y=sin2ωx+3，通过题意，求出周期，确定ω，然后求出函数的单调增区间．

解答 解：函数y=4sin（ωx+$\frac{π}{4}$）cos（ωx-$\frac{π}{4}$）-2sin（ωx-$\frac{π}{4}$）cos（ωx+$\frac{π}{4}$）=2sin（ωx+$\frac{π}{4}$）cos（ωx-$\frac{π}{4}$）+2=2cos2（ωx-$\frac{π}{4}$）-1+3=cos（2ωx-$\frac{π}{2}$）+3=sin2ωx+3；
函数图象与直线y=3在y轴右侧的交点横坐标从小到大依次为p₁，p₂，…且|P₃P₅|=$\frac{π}{2}$，所以T=$\frac{π}{2}$，所以ω=4，函数为y=sin4x+3；
因为 2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈z），
所以 x∈[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]（k∈z）就是函数的单调增区间．
故选：B．

点评 本题是基础题，考查三角函数的化简解析式的求法，函数的单调增区间的求法，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．