Question

18．已知函数f（x）=2x³+（4+$\frac{m}{2}$）x²-8x-16，对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）在区间（t，3）上不单调，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{70}{3}$，+∞）
• B． （16，+∞）
• C． （-$\frac{70}{3}$，16）
• D． （-$\frac{70}{4}$，-16）

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的导数，问题转化为：$\left\{\begin{array}{l}{f′（t）＜0}\\{f′（3）＞0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：由函数f（x）=2x3+（4+$\frac{m}{2}$）x2-8x，
得：f′（x）=6x²+（8+m）x-8．
要使对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）在区间（t，3）上不单调，
说明导函数f′（x）的值在（t，3）上有正有负，
因为二次函数f′（x）=6x²+（8+m）x-8的图象开口向上，且恒过定点（0，-8），
所以，只需$\left\{\begin{array}{l}{f′（t）＜0}\\{f′（3）＞0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{{6t}^{2}+（8+m）t-8＜0，①}\\{54+3（m+8）-8＞0，②}\end{array}\right.$
由①得：m＜-6t+$\frac{8}{t}$-8，（t∈[1，2]，
而${（-6t+\frac{8}{t}-8）}_{min}$=-6×2+$\frac{8}{2}$-8=-16，
所以，m＜-16．
由②得：m＞-$\frac{70}{3}$．
综上：-$\frac{70}{3}$＜m＜-16．
故选：C．

点评 本题考察了函数的单调性，考察导数的应用，根据导函数f′（x）的值在（t，3）上有正有负，得到不等式组是解题的关键，本题是一道中档题．