Question

13．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若A，B，C为椭圆上的三点（A，B不在坐标轴上），满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$，直线OA，OB分别交直线l：x=3于M，N两点，设直线OA，OB的斜率为k₁，k₂．证明：k₁•k₂为定值，并求线段MN长度的最小值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出椭圆的标准方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}$=1．由于满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OC}$=$（\frac{3}{5}{x}_{1}+\frac{4}{5}{x}_{2}，\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}）$．代入椭圆的方程化简可得：x₁x₂+4y₁y₂=0，即可证明k₁k₂为定值．设OA：y=k₁x，OB：y=-$\frac{1}{4{k}_{1}}$x，令x=3，解得M，N．|MN|=$|3{k}_{1}+\frac{3}{4{k}_{1}}|$=$|3{k}_{1}|+\frac{3}{|4{k}_{1}|}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 （I）解：由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（II）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}$=1，①．
∵满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OC}$=$（\frac{3}{5}{x}_{1}+\frac{4}{5}{x}_{2}，\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}）$．
代入椭圆的方程可得：$\frac{（\frac{3}{5}{x}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{1}）^{2}}{4}+（\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}）^{2}=1$，
化为$（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}）$+$（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}）$+$\frac{6}{25}（{x}_{1}{x}_{2}+4{y}_{1}{y}_{2}）$=1，
由①可得：x₁x₂+4y₁y₂=0，
∴k₁k₂=-$\frac{1}{4}$为定值．
设OA：y=k₁x，OB：y=-$\frac{1}{4{k}_{1}}$x，令x=3，解得M（3，3k₁），N$（3，-\frac{3}{4{k}_{1}}）$．
∴|MN|=$|3{k}_{1}+\frac{3}{4{k}_{1}}|$=$|3{k}_{1}|+\frac{3}{|4{k}_{1}|}$≥3×$2\sqrt{|{k}_{1}|•\frac{1}{4|{k}_{1}|}}$=3，当且仅当${k}_{1}=±\frac{1}{2}$时取等号，
∴|MN|的最小值为3．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量坐标运算、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．