Question

4．若a是f（x）=sinx-xcosx在x∈（0，2π）的一个零点，则?x∈（0，2π），下列不等式恒成立的是（　　）

• A． $\frac{sinx}{x}≥\frac{sina}{a}$
• B． cosa≥$\frac{sinx}{x}$
• C． $\frac{3π}{2}$≤a≤2π
• D． a-cosa≥x-cosx

Answer 1

分析 利用导数研究单调性，运用零点的存在性定理判断出a所在的范围，根据f（x）的正负确定g（x）=$\frac{sinx}{x}$的最小值．

解答 解：f′（x）=xsinx，
当x∈（0，π），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（π，2π），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
又f（0）=0，f（π）＞0，f（2π）＜0，
∴a∈（π，2π），
∴当x∈（0，a），f（x）＞0，当x∈（a，2π），f（x）＜0，
令g（x）=$\frac{sinx}{x}$，g′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
∴当x∈（0，a），g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x∈（a，2π），g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
∴g（x）≥g（a）．
故选：A．

点评 本题主要考查零点的存在性定理，利用导数求最值及计算能力．