Question

12．如图四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点，PA=AB=2，∠BAD=120°．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求EF与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证EF∥平面PCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PCD内一直线平行即可，连接BD，根据中位线可知EF∥PD，而EF不在平面PCD内，满足定理所需条件；
（Ⅱ）连接PE，根据题意可知BD⊥AC，又PA⊥平面ABC，则PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，根据线面所成角的定义可知∠EPD是PD与平面PAC所成的角，而EF∥PD，则EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD，在Rt△PED中，求出此角即可．

解答 （Ⅰ）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点．
又F是PB的中点，
所以EF∥PD．
因为EF不在平面PCD内，
所以EF∥平面PCD．（6分）
（Ⅱ）解：连接PE．
因为ABCD是菱形，
所以BD⊥AC．
又PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BD．
因此BD⊥平面PAC．
因为EF∥PD，
EF与平面PAC所成角就是PD与平面PAC所成的角．
故∠EPD是PD与平面PAC所成的角．
所以EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．
因为PA=AB=2，∠BAD=120°，DE=$\sqrt{3}$，PE=$\sqrt{5}$．
在Rt△PED中，PD=2$\sqrt{2}$．
sin∠EPD=$\frac{DE}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
所以EF与平面PAC所成角的所成角的正弦值为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．（14分）

点评 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角大小计算，同时考查空间想象能力和推理论证能力．