Question

7．已知椭圆C中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A（2$\sqrt{6}$，2）、B（3，3）．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上的任一点M（x₁，y₁），过原点O向半径为r的圆M作两条切线，是否存在r使得两条切线的斜率之积s为定值，若是，求出r，s值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程为mx²+ny²=1，点A（2$\sqrt{6}$，2）、B（3，3），代入$\left\{\begin{array}{l}{24m+4n=1}\\{9m+9n=1}\end{array}\right.$，求出m，n，即可
求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设两条切线方程为y=k₁x，y=k₂x，由圆心到直线的距离等于半径，$\frac{|{k}_{1}{x}_{1}-{y}_{1}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=r，$\frac{|{k}_{2}{x}_{1}-{y}_{1}|}{\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}$=r，化简得k₁，k₂是方程（x₁²-r²）k²-2x₁y₁k+y₁²-r²=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆方程为mx²+ny²=1，
点A（2$\sqrt{6}$，2）、B（3，3），代入$\left\{\begin{array}{l}{24m+4n=1}\\{9m+9n=1}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{1}{36}$，n=$\frac{1}{12}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（Ⅱ）斜率显然存在，设两条切线方程为y=k₁x，y=k₂x，
由圆心到直线的距离等于半径，$\frac{|{k}_{1}{x}_{1}-{y}_{1}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=r，$\frac{|{k}_{2}{x}_{1}-{y}_{1}|}{\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}$=r，
化简得k₁，k₂是方程（x₁²-r²）k²-2x₁y₁k+y₁²-r²=0的两个不相等的实数根，
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{r}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{-\frac{1}{3}{{x}_{1}}^{2}+12-{r}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{r}^{2}}$=s，
∴s=-$\frac{1}{3}$，r=3．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与与圆的位置关系，考查待定系数法，考查学生的计算能力，属于中档题．