Question

2．已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知菱形EFGH的顶点E、G在椭圆C₁上，顶点F、H在直线7x-7y+1=0上，求直线EG的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知椭圆的短轴和焦点可代入椭圆方程求出椭圆方程
（Ⅱ）顶点F、H在直线7x-7y+1=0上，EFGH为菱形，EG垂直FH，设直线EG的方程为y=-x+m，然后直线与椭圆联立方程，利用韦达定理列式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$，F（c，0）．由题意知
解得$b=\sqrt{3}$，c=1．               …（3分）
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．    …（4分）
（Ⅱ）顶点F、H在直线7x-7y+1=0上，EFGH为菱形，EG⊥FH，设直线EG的方程为y=-x+m．
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$⇒7x²-8mx+4m²-12=0
∵E、G在椭圆C₁上，∴△＞0，∴m²＜7，∴$-\sqrt{7}＜m＜\sqrt{7}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8m}{7}$．…（9分）
y₁+y₂=（-x₁+m）（-x₂+m）=-（x₁+x₂）$+2m=-\frac{8m}{7}+2m=\frac{6m}{7}$．
∴EG的中点坐标为（$\frac{4m}{7}，\frac{3m}{7}$），由EFGH为菱形可知，点（$\frac{4m}{7}，\frac{3m}{7}$）在直线FH：7x-7y+1=0上，
∴$7-\frac{4m}{7}-7×\frac{3m}{7}+1=0，m=-1$
∴$m=-1∈（-\sqrt{7}，\sqrt{7}）$．
∴直线EG的方程为y=-x-1．
即x+y+1=0           …（13分）

点评 本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题，在高考中经常涉及．