Question

1．已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•（$\sqrt{3}$）${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，利用a₁+a₂+a₃=12可得d=2，进而可得结论；
（2）通过（1）知：b_n=2n•3ⁿ，求出S_n、3S_n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由a₁=2，可知：a₂=2+d，a₃=2+2d，
∵a₁+a₂+a₃=12，∴6+3d=12，即d=2，
∴数列{a_n}的通项a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）由（1）知：b_n=a_n•（$\sqrt{3}$）${\;}^{{a}_{n}}$=2n•${\sqrt{3}}^{2n}$=2n•3ⁿ，
∴S_n=2[1•3+2•3²+3•3³+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ]，
3S_n=2[1•3²+2•3³+…+（n-2）•3^n-1+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹]，
两式相减，得：-2S_n=2[3+3²+3³+…+3^n-1+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹]
=2•[$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹]
=2（$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$），
∴S_n=$\frac{2n-1}{2}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查求数列的通项和前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．