Question

13．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P，O为原点，若$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OP}）$，则双曲线的离心率为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF′|=2a，过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，
据此可求出P点的横坐标，后在Rt△PDF中根据勾股定理建立等式，由此能求出双曲线的离心率．

解答 解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF
∴|EF|=b，
∵$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OP}）$，
∴E为PF的中点，|PF|=2b，
又∵O为FF′的中点，
∴PF′∥EO，
∴|PF′|=2a，
∵抛物线方程为y²=4cx，
∴抛物线的焦点坐标为（c，0），
即抛物线和双曲线右支焦点相同，
过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，
∴PD=PF′=2a，
∴P点横坐标为2a-c，设P（x，y），
在Rt△PDF中，PD²+DF²=PF²，即4a²+y²=4b²，4a²+4c（2a-c）=4（c²-b²），
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查双曲线的定义及性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．