Question

15．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线l：x-y+2=0与以右焦点F为圆心，椭圆E的长半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l₀，使得直线l₀和椭圆E相切，切点在第一象限，且截圆F所得弦长为4？若存在，试求l₀的直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l：x-y+2=0与圆F：（x-c）²+y²=a²相切，求得c，b继而求得椭圆方程．
（Ⅱ）由题设知斜率存在，设直线l₀：y=kx+m（k＜0）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$消去y整理得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，利用截得弦长来求得k的值．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l：x-y+2=0与圆F：（x-c）²+y²=a²相切．
∴$\frac{c+2}{\sqrt{2}}=a$，即e$+\frac{2}{a}=\sqrt{2}$，∴$a=2\sqrt{2}$，因此c=2，则b=2．
故椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l₀，由题设知斜率存在，设直线l₀：y=kx+m（k＜0）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$消去y整理得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，
则△=16m²k²-4（2m²-8）（1+2k²）=0，即m²=8k²-4①
由（Ⅰ）知圆F：（x-2）²+y²=8，
由于直线l₀截圆F所得弦长为4，则点F到直线l₀：kx-y+m=0的距离d=$\sqrt{8-{2}^{2}}=2$，
故$d=\frac{|2k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，即m²+4km=4②
由①-②得-4km=8k²，即m=-2k，将其代入①中得4k²=8k²+4，该方程显然无实数解，
故不存在直线l₀满足条件．

点评 本题主要考查直线与圆相切求得椭圆方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题，在高考中时常涉及．