Question

13．已知椭圆F：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{3}$，左焦点为F₁，点F₁到直线ax+by=0的距离为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点M在圆x²+y²=b²上，且M在第一象限，过M作圆x²+y²=b²的切线角椭圆于P，Q两点，求证：|PF₁|+|QF₁|-|PQ|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）左焦点设为（-c，0），则（-c，0）到直线ax+by=0的距离为d=$\frac{|ac|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}$，求得椭圆方程．
（Ⅱ）在圆中，M是切点，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得（8+9k²）x²+18kmx+9m²-72=0，则x₁+x₂=$\frac{-18km}{8+9{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{9{m}^{2}-72}{8+9{k}^{2}}$，求出：|PF₁|，|QF₁|，|PQ|的值，继而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$①，左焦点设为（-c，0），则（-c，0）到直线ax+by=0的距离为d=$\frac{|ac|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∴$\frac{{a}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{9}{17}$②，b²+c²=a²③由①②③得：a²=9，b²=8，∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（Ⅱ）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{9}+\frac{{y}_{1}^{2}}{8}=1$∴$|P{F}_{2}|=\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}-{{y}_{1}}^{2}}=\sqrt{（\frac{{x}_{1}}{3}-3）^{2}}$，
∵0＜x₁＜3，|PF₂|=3-$\frac{{x}_{1}}{3}$，
同理|QF₂|=3-$\frac{{x}_{2}}{3}$
在圆中，M是切点，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得（8+9k²）x²+18kmx+9m²-72=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=$\frac{-18km}{8+9{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{9{m}^{2}-72}{8+9{k}^{2}}$

∴$|PQ|=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（\frac{-18km}{8+9{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{9{m}^{2}-72}{8+9{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{4×9×8×（9{k}^{2}-{m}^{2}+8）}{（8+9{k}^{2}）^{2}}}$
∵PQ与圆相切，∴$\frac{m}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=2\sqrt{2}$即m=$\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}$，∴$|PQ|=-\frac{6km}{8+9{k}^{2}}$
所以：|PF₁|+|QF₁|-|PQ|=6-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}-\frac{6km}{8+9{k}^{2}}=6$．
即：|PF₁|+|QF₁|-|PQ|为定值．

点评 本题主要考查了椭圆方程得求法和直线与圆锥曲线的位置关系，属于难度较大的题型．