Question

3．设f（x）=x²-2mx+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 将二次函数进行配方，利用二次函数的图象和性质求解，要使不等式f（x）≥m恒成立，则只需求出函数在x∈[-1，+∞]时的最小值即可．

解答 解：∵f（x）=x²-2mx+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥m恒成立，
即g（x）=x²-2mx+2-m=（x-m）²+2-m-m²≥0，当x∈[-1，+∞）时，恒成立，
∴函数g（x）的对称轴是x=m，
①m≤-1时，g（x）_min=g（-1）=m+3，
∴只需m+3≥0即可，
∴-3≤m≤-1，
②m＞-1时，g（x）_min=g（m）=2-m-m²，
∴只需2-m-m²≥0即可，
∴-1＜m≤1，
综上：-3≤m≤1．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，要注意分别讨论对称轴和区间之间的关系确定函数的最小值．