Question

8．已知动圆C过定点A（0，1），且与直线y=-1相切．求：
（1）动圆的圆心C的轨迹方程；
（2）过点B（0，-2）的直线l与动圆的圆心的轨迹C交于两个不同的点M，N，若$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$＜0，求直线l的斜率的取值范围；
（3）若直线m过（0，$\frac{1}{2}$）与曲线C相交于两点P、Q，过P、Q分别作曲线C的切线，设两条切线的交点为G，求△GPQ面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，可得动圆的圆心C的轨迹方程；
（2）y=kx-2，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求直线l的斜率的取值范围；
（3）由斜截式写出直线方程，和抛物线方程联立求出P，Q两点横坐标的积，再利用导数写出过P，Q两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的轨迹方程，再求△GPQ面积的最小值．

解答 解：（1）∵动圆C过定点A（0，1），且与直线y=-1相切，
∴动圆的圆心C的轨迹是抛物线，方程为x²=4y；
（2）设直线l的方程y=kx-2，M（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），N（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）
y=kx-2，代入抛物线方程，消去y得x²-4kx+8=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8，且△=16k²-32＞0即k²＞2．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-1）•（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-1）=x₁x₂+（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-1）（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-1）=-4k²+17＜0
∴k＜-$\frac{\sqrt{17}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{17}}{2}$．
（3）解：设P（x₃，$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}$），Q（x₄，$\frac{{{x}_{4}}^{2}}{4}$），
直线l：y=kx+$\frac{1}{2}$，代入抛物线方程，得：x²-4kx-2=0．
∴x₃x₄=-2…①．
又抛物线方程求导得y′=$\frac{x}{2}$，
∴抛物线过点A的切线的斜率为$\frac{{x}_{3}}{2}$，切线方程为y-$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{3}}{2}$（x-x₃）…②
抛物线过点B的切线的斜率为$\frac{{x}_{4}}{2}$，切线方程为y-$\frac{{{x}_{4}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{4}}{2}$（x-x₄）…③
由①②③得：x=2k，y=-$\frac{1}{2}$．
∴l₁与l₂的交点G的轨迹方程是y=-$\frac{1}{2}$，G（2k，-$\frac{1}{2}$），
∴△GPQ面积S=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{16{k}^{2}+8}•\frac{2{k}^{2}+1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$•$（2{k}^{2}+1）^{\frac{3}{2}}$，
∴k=0时，△GPQ面积的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．