Question

20．已知$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{t}$，|$\overrightarrow{AC}$|=t，若点P是△ABC所在平面内一点，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值等于13．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$ 为 17-（$\frac{1}{t}$+4t），再利用基本不等式求得它的最大值．

解答 解：由题意建立如图所示的坐标系，
可得A（0，0），B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，∴P（1，4），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{t}$-1，-4），$\overrightarrow{PC}$=（-1，t-4），
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=-（$\frac{1}{t}$-1）-4（t-4）=17-（$\frac{1}{t}$+4t）≤17-2$\sqrt{\frac{1}{t}•4t}$=13，
当且仅当$\frac{1}{t}$=4t，即t=$\frac{1}{2}$时，取等号，
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值为13，
故答案为：13．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．